Suma współczynników wielomianu (3x − 2)¹⁰ - podstawienie x = 1

Krok 1. Kluczowa obserwacja. Dla wielomianu $W(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$ podstawienie $x = 1$ daje

$W(1) = a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1 + a_0,$

bo każda potęga jedynki jest jedynką. Sumę współczynników dostajemy więc bez rozwijania nawiasu.

Krok 2. Przykład a).

$W(1) = (3 \cdot 1 - 2)^{10} = 1^{10} = 1.$

Krok 3. Przykład b). Wzór Newtona tu nie wystarcza (w nawiasie są trzy składniki), ale podstawienie działa zawsze:

$V(1) = (1 - 3 + 1)^7 = (-1)^7 = -1.$

Krok 4. Przykład c) - dodatkowo $x = -1$. Niech $U(x) = (x + 2)^6 = a_6x^6 + a_5x^5 + \ldots + a_0$. Podstawienie $x = -1$ zmienia znak współczynników przy nieparzystych potęgach:

$U(1) = a_6 + a_5 + a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0, \qquad U(-1) = a_6 - a_5 + a_4 - a_3 + a_2 - a_1 + a_0.$

Po dodaniu nieparzyste się redukują:

$a_6 + a_4 + a_2 + a_0 = \frac{U(1) + U(-1)}{2} = \frac{3^6 + 1^6}{2} = \frac{729 + 1}{2} = 365.$

Sprawdzenie wzorem Newtona: $a_6 = 1$, $a_4 = \binom{6}{2} \cdot 2^2 = 60$, $a_2 = \binom{6}{4} \cdot 2^4 = 240$, $a_0 = 2^6 = 64$, a $1 + 60 + 240 + 64 = 365$.

Odpowiedź. a) $1$; b) $-1$; c) $365$.