Oblicz (√2 + 1)⁴ + (√2 − 1)⁴ i przybliż 0,99⁵ wzorem Newtona

Krok 1. Przykład a) - rozwijamy obie potęgi. Wiersz $n = 4$ trójkąta Pascala to $1, 4, 6, 4, 1$. Dla $a = \sqrt{2}$, $b = 1$:

$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4,$

$(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4.$

Krok 2. Dodajemy - składniki z nieparzystą potęgą $b$ się redukują.

$(a + b)^4 + (a - b)^4 = 2\left(a^4 + 6a^2b^2 + b^4\right).$

Zostały tylko parzyste potęgi $\sqrt{2}$, a te są liczbami całkowitymi: $a^2 = 2$, $a^4 = 4$.

Krok 3. Podstawiamy.

$(\sqrt{2} + 1)^4 + (\sqrt{2} - 1)^4 = 2(4 + 6 \cdot 2 \cdot 1 + 1) = 2 \cdot 17 = 34.$

Sprawdzenie: osobno $(\sqrt{2} + 1)^4 = 17 + 12\sqrt{2}$ i $(\sqrt{2} - 1)^4 = 17 - 12\sqrt{2}$; pierwiastki się znoszą.

Krok 4. Przykład b) - zapis jako dwumian. $0{,}99 = 1 - 0{,}01$, a wiersz $n = 5$ to $1, 5, 10, 10, 5, 1$:

$(1 - 0{,}01)^5 = 1 - 5 \cdot 0{,}01 + 10 \cdot 0{,}0001 - 10 \cdot 0{,}000001 + 5 \cdot 0{,}00000001 - 0{,}0000000001.$

Krok 5. Wystarczą pierwsze wyrazy. Kolejne składniki szybko maleją; do dokładności $0{,}0001$ bierzemy cztery pierwsze:

$1 - 0{,}05 + 0{,}001 - 0{,}00001 = 0{,}95099.$

Pozostałe dwa składniki zmieniają wynik o mniej niż $0{,}0000001$ (dokładnie $0{,}99^5 = 0{,}9509900499$), więc po zaokrągleniu $0{,}99^5 \approx 0{,}9510$.

Odpowiedź. a) $34$; b) $0{,}99^5 \approx 0{,}9510$.