Rozwiń (3x + 2)⁴ ze wzoru Newtona - krok po kroku

Krok 1. Wzór i współczynniki. Wzór Newtona dla $n = 4$:

$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4.$

Współczynniki $1, 4, 6, 4, 1$ to wiersz $n = 4$ trójkąta Pascala, czyli $\binom{4}{0}, \binom{4}{1}, \ldots, \binom{4}{4}$.

Krok 2. Podstawiamy $a = 3x$, $b = 2$. Potęgujemy cały składnik $3x$, nie samo $x$:

$(3x+2)^4 = (3x)^4 + 4 \cdot (3x)^3 \cdot 2 + 6 \cdot (3x)^2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 3x \cdot 2^3 + 2^4.$

Krok 3. Liczymy każdy składnik.

• $(3x)^4 = 81x^4$,
• $4 \cdot 27x^3 \cdot 2 = 216x^3$,
• $6 \cdot 9x^2 \cdot 4 = 216x^2$,
• $4 \cdot 3x \cdot 8 = 96x$,
• $2^4 = 16$.

Krok 4. Sprawdzenie. Dla $x = 1$ lewa strona to $5^4 = 625$, a suma współczynników $81 + 216 + 216 + 96 + 16 = 625$. Zgadza się.

Odpowiedź.

$(3x + 2)^4 = 81x^4 + 216x^3 + 216x^2 + 96x + 16.$