Wyraz wolny w rozwinięciu (2x − 1/x)⁶ - wzór Newtona

Krok 1. Zapis potęgowy. Ułamek $\frac{1}{x}$ zapisujemy jako $x^{-1}$. Wtedy $a = 2x$, $b = -x^{-1}$, $n = 6$.

Krok 2. Wyraz ogólny.

$T_{k+1} = \binom{6}{k} (2x)^{6-k} \left(-x^{-1}\right)^k = \binom{6}{k} \cdot 2^{6-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{6-k} \cdot x^{-k} = \binom{6}{k} \cdot 2^{6-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{6-2k}.$

Krok 3. Wyraz wolny to $x^0$. Szukamy $k$, dla którego wykładnik się zeruje:

$6 - 2k = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k = 3.$

Jest to czwarty wyraz rozwinięcia ($T_4$).

Krok 4. Liczymy.

$T_4 = \binom{6}{3} \cdot 2^3 \cdot (-1)^3 = 20 \cdot 8 \cdot (-1) = -160.$

Dla porządku: wykładniki $6 - 2k$ przyjmują wartości $6, 4, 2, 0, -2, -4, -6$, więc wyraz wolny występuje dokładnie raz.

Odpowiedź. Wyraz wolny jest równy $-160$.