Porównaj logarytmy: log₃7 i log₃6,5 oraz log₂/₃7 i log₂/₃6,5

Krok 1. Reguła. Funkcja $f(x) = \log_a x$ jest rosnąca dla $a > 1$ i malejąca dla $0 < a < 1$. Przy tej samej podstawie wystarczy więc porównać liczby logarytmowane - i pamiętać, czy znak nierówności zostaje, czy się odwraca.

Krok 2. Podpunkt a). Podstawa $3 > 1$, funkcja $\log_3 x$ jest rosnąca. Ponieważ $7 > 6{,}5$:

$\log_3 7 > \log_3 6{,}5.$

Krok 3. Podpunkt b). Podstawa $\frac{2}{3}$ leży w przedziale $(0, 1)$, funkcja jest malejąca - większy argument daje mniejszą wartość:

$7 > 6{,}5 \quad\Longrightarrow\quad \log_{\frac{2}{3}} 7 < \log_{\frac{2}{3}} 6{,}5.$

Krok 4. Podpunkt c) - porównanie z jedynką. Znak logarytmu rozstrzyga porównanie liczby logarytmowanej z $1$, bo $\log_a 1 = 0$.

• $\log_{0{,}4} 0{,}3$: funkcja malejąca, a $0{,}3 < 1$, więc $\log_{0{,}4} 0{,}3 > \log_{0{,}4} 1 = 0$ - liczba dodatnia.
• $\log_3 0{,}8$: funkcja rosnąca, a $0{,}8 < 1$, więc $\log_3 0{,}8 < \log_3 1 = 0$ - liczba ujemna.

Wygodna reguła: logarytm jest dodatni, gdy podstawa i liczba logarytmowana leżą „po tej samej stronie jedynki” (obie większe od $1$ albo obie w $(0, 1)$), a ujemny - gdy po różnych stronach.

Odpowiedź. a) $\log_3 7 > \log_3 6{,}5$; b) $\log_{\frac{2}{3}} 7 < \log_{\frac{2}{3}} 6{,}5$; c) $\log_{0{,}4} 0{,}3 > 0$, $\log_3 0{,}8 < 0$.