Uporządkuj rosnąco logarytmy: log₁/₃2, log₇5, log₂3, log₀,₅0,2

Krok 1. Plan. Każdą liczbę zamykamy między dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi. Korzystamy z tego, że $\log_a a^k = k$, i z monotoniczności: przy podstawie większej od $1$ funkcja rośnie, przy podstawie z $(0, 1)$ - maleje.

Krok 2. Liczba $a$. Podstawa $\frac{1}{3} < 1$, funkcja malejąca. Ponieważ $1 < 2 < 3$, nierówności się odwracają:

$\log_{\frac{1}{3}} 1 > \log_{\frac{1}{3}} 2 > \log_{\frac{1}{3}} 3 \quad\Longrightarrow\quad 0 > a > -1.$

Krok 3. Liczba $b$. Funkcja $\log_7 x$ rośnie, a $1 < 5 < 7$:

$\log_7 1 < \log_7 5 < \log_7 7 \quad\Longrightarrow\quad 0 < b < 1.$

Krok 4. Liczba $c$. Funkcja $\log_2 x$ rośnie, a $2 < 3 < 4$:

$\log_2 2 < \log_2 3 < \log_2 4 \quad\Longrightarrow\quad 1 < c < 2.$

Krok 5. Liczba $d$. Najpierw upraszczamy: $0{,}5 = 2^{-1}$ i $0{,}2 = 5^{-1}$, a zastąpienie podstawy i liczby logarytmowanej jednocześnie ich odwrotnościami nie zmienia wartości ($\log_{\frac{1}{a}} \frac{1}{b} = \log_a b$, bo $\left(\frac{1}{a}\right)^c = \frac{1}{b} \iff a^c = b$), więc $d = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} = \log_2 5$. Teraz $4 < 5 < 8$:

$\log_2 4 < \log_2 5 < \log_2 8 \quad\Longrightarrow\quad 2 < d < 3.$

Krok 6. Zestawienie. Każda liczba leży w innym przedziale: $a \in (-1, 0)$, $b \in (0, 1)$, $c \in (1, 2)$, $d \in (2, 3)$. Przybliżenia: $a \approx -0{,}631$, $b \approx 0{,}827$, $c \approx 1{,}585$, $d \approx 2{,}322$.

Odpowiedź. $a < b < c < d$, czyli $\log_{\frac{1}{3}} 2 < \log_7 5 < \log_2 3 < \log_{0{,}5} 0{,}2$.