Dla jakich m funkcja f(x) = logₘ₋₂x jest malejąca? Parametr w podstawie

Krok 1. Podpunkt a) - warunki na podstawę. Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od $1$:

$m - 2 > 0 \ \Longrightarrow\ m > 2, \qquad m - 2 \ne 1 \ \Longrightarrow\ m \ne 3.$

Zatem $m \in (2, 3) \cup (3, +\infty)$.

Krok 2. Podpunkt b) - funkcja malejąca. Funkcja logarytmiczna maleje, gdy podstawa leży w przedziale $(0, 1)$:

$0 < m - 2 < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2 < m < 3.$

Krok 3. Podpunkt b) - funkcja rosnąca. Funkcja rośnie, gdy podstawa jest większa od $1$:

$m - 2 > 1 \quad\Longleftrightarrow\quad m > 3.$

Krok 4. Podpunkt c) - punkt na wykresie. Punkt $(4, 2)$ należy do wykresu, gdy $f(4) = 2$. Z definicji logarytmu:

$\log_{m - 2} 4 = 2 \quad\Longleftrightarrow\quad (m - 2)^2 = 4 \quad\Longleftrightarrow\quad m - 2 = 2 \ \text{lub}\ m - 2 = -2.$

Druga możliwość daje podstawę ujemną, więc ją odrzucamy. Zostaje $m - 2 = 2$, czyli $m = 4$ - spełnia warunki z kroku 1, a funkcja $f(x) = \log_2 x$ jest wtedy rosnąca.

Sprawdzenie. $\log_2 4 = 2$. $\checkmark$

Odpowiedź. a) $m \in (2, 3) \cup (3, +\infty)$; b) malejąca dla $m \in (2, 3)$, rosnąca dla $m \in (3, +\infty)$; c) $m = 4$.