Dziedzina funkcji logarytmicznej: log(x² − 5x + 6) + log₂(7 − x) i logₓ₋₁(9 − x²)

Krok 1. Warunki istnienia logarytmu. Wyrażenie $\log_a b$ ma sens, gdy $b > 0$ oraz $a > 0$ i $a \ne 1$. Każdy logarytm w funkcji daje swoje warunki, a dziedzina to ich część wspólna.

Krok 2. Podpunkt a) - pierwszy logarytm. Podstawa $10$ jest w porządku, warunek dotyczy tylko liczby logarytmowanej:

$x^2 - 5x + 6 > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x - 2)(x - 3) > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x < 2 \ \text{lub}\ x > 3.$

Parabola o ramionach w górę jest dodatnia na zewnątrz miejsc zerowych $2$ i $3$.

Krok 3. Podpunkt a) - drugi logarytm. $7 - x > 0$, czyli $x < 7$.

Krok 4. Część wspólna a). Z przedziałów $(-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$ zostawiamy liczby mniejsze od $7$:

$D_f = (-\infty, 2) \cup (3, 7).$

Krok 5. Podpunkt b) - warunki na podstawę. Niewiadoma stoi w podstawie, więc:

$x - 1 > 0 \ \Longrightarrow\ x > 1, \qquad x - 1 \ne 1 \ \Longrightarrow\ x \ne 2.$

Krok 6. Podpunkt b) - liczba logarytmowana.

$9 - x^2 > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 < 9 \quad\Longleftrightarrow\quad -3 < x < 3.$

Krok 7. Część wspólna b). Liczby większe od $1$ i mniejsze od $3$, z wyjątkiem $2$:

$D_g = (1, 2) \cup (2, 3).$

Najczęstszy błąd to zapomnienie o warunku $x - 1 \ne 1$ - dla $x = 2$ podstawa wynosi $1$ i logarytm nie istnieje.

Odpowiedź. a) $D_f = (-\infty, 2) \cup (3, 7)$; b) $D_g = (1, 2) \cup (2, 3)$.