Zbiór wartości funkcji logarytmicznej na przedziale: log½x dla x ∈ [⅛, 4]

Krok 1. Idea. Funkcja logarytmiczna jest ciągła i monotoniczna na całej dziedzinie, więc na przedziale przyjmuje wszystkie wartości między wartościami na końcach. Trzeba tylko ustalić, który koniec daje wartość największą, a który najmniejszą - to zależy od podstawy.

Krok 2. Podpunkt a) - wartości na końcach.

$f\left(\tfrac{1}{8}\right) = \log_{\frac{1}{2}} \tfrac{1}{8} = 3, \qquad f(4) = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2,$

bo $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ oraz $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$.

Krok 3. Podpunkt a) - monotoniczność. Podstawa $\frac{1}{2} < 1$, funkcja jest malejąca: największą wartość przyjmuje na lewym końcu, najmniejszą na prawym. Oba końce należą do przedziału, więc oba nawiasy są domknięte:

$ZW_f = [-2, 3].$

Krok 4. Podpunkt b) - wartości na końcach.

$g\left(\tfrac{1}{3}\right) = \log_3 \tfrac{1}{3} = -1, \qquad g(27) = \log_3 27 = 3.$

Krok 5. Podpunkt b) - monotoniczność i końce. Funkcja $\log_3 x$ jest rosnąca. Lewy koniec $\frac{1}{3}$ nie należy do przedziału, więc wartość $-1$ nie jest osiągana - nawias otwarty. Prawy koniec $27$ należy, więc $3$ jest wartością największą:

$ZW_g = (-1, 3].$

Odpowiedź. a) $ZW_f = [-2, 3]$ (największa wartość $3$ dla $x = \frac{1}{8}$, najmniejsza $-2$ dla $x = 4$); b) $ZW_g = (-1, 3]$.