Co jest większe: log₂3 czy log₃2? Porównanie przez jedynkę

Krok 1. Dlaczego nie da się porównać wprost. Logarytmy mają różne podstawy, więc nie możemy po prostu porównać liczb logarytmowanych. Szukamy liczby pośredniej - takiej, która leży między nimi. Najprostsze kandydatki to liczby całkowite, bo $\log_a a^k = k$.

Krok 2. Szacujemy $\log_2 3$. Funkcja $\log_2 x$ jest rosnąca, a $3 > 2$:

$\log_2 3 > \log_2 2 = 1.$

Krok 3. Szacujemy $\log_3 2$. Funkcja $\log_3 x$ też jest rosnąca, a $2 < 3$:

$\log_3 2 < \log_3 3 = 1.$

Krok 4. Wniosek. Liczba $1$ rozdziela obie wartości: $\log_3 2 < 1 < \log_2 3$.

Uwaga. Ze wzoru na zamianę podstawy $\log_3 2 = \dfrac{1}{\log_2 3}$ - obie liczby są swoimi odwrotnościami, więc gdy jedna jest większa od $1$, druga musi być mniejsza. W przybliżeniu $\log_2 3 \approx 1{,}585$, a $\log_3 2 \approx 0{,}631$.

Odpowiedź. Większa jest liczba $\log_2 3$: $\log_2 3 > \log_3 2$.