Porównaj log₃10 i log₄15 - liczba pośrednia 2

Krok 1. Szukamy liczby pośredniej. Podstawy są różne, więc porównujemy obie liczby z tą samą liczbą całkowitą. Która to? Najbliższe potęgi podstaw: $3^2 = 9$ leży tuż pod $10$, a $4^2 = 16$ tuż nad $15$. Kandydatką jest więc $2$.

Krok 2. Oszacowanie $\log_3 10$. Funkcja $\log_3 x$ jest rosnąca, a $10 > 9$:

$\log_3 10 > \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2.$

Krok 3. Oszacowanie $\log_4 15$. Funkcja $\log_4 x$ też jest rosnąca, a $15 < 16$:

$\log_4 15 < \log_4 16 = \log_4 4^2 = 2.$

Krok 4. Wniosek.

$\log_4 15 < 2 < \log_3 10.$

Dla porównania przybliżenia z kalkulatora: $\log_3 10 \approx 2{,}096$, $\log_4 15 \approx 1{,}953$. Liczby leżą blisko siebie, ale po przeciwnych stronach dwójki - dlatego liczba pośrednia wystarcza.

Odpowiedź. $\log_3 10 > \log_4 15$.