Dwa statki z jednego portu, kąt między kursami 120° - odległość po 2 godzinach

Krok 1. Drogi po 2 godzinach. Pierwszy statek przepłynie $25 \cdot 2 = 50$ km, drugi $15 \cdot 2 = 30$ km. Port i oba statki tworzą trójkąt o bokach $50$ km i $30$ km z kątem $120^\circ$ między nimi.

Krok 2. a) Odległość - twierdzenie cosinusów ($\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$):

$d^2 = 50^2 + 30^2 - 2 \cdot 50 \cdot 30 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2500 + 900 + 1500 = 4900, \qquad d = 70 \text{ km}.$

Uwaga: cosinus kąta rozwartego jest ujemny, więc ostatni składnik się dodaje. Gdyby wziąć $\cos 120^\circ = \frac{1}{2}$, wyszłoby $\sqrt{1900} \approx 43{,}6$ km - za mało dla kąta rozwartego.

Krok 3. b) Odległość po czasie $t$. Po $t$ godzinach statki są $25t$ i $15t$ km od portu:

$d^2 = (25t)^2 + (15t)^2 + 25t \cdot 15t = (625 + 225 + 375)\,t^2 = 1225\,t^2, \qquad d = 35t.$

Odległość rośnie proporcjonalnie do czasu (trójkąty dla różnych $t$ są podobne) - $35$ km na godzinę. Zgadza się z punktem a): $35 \cdot 2 = 70$.

Krok 4. Szukany czas:

$35t = 105 \quad\Longrightarrow\quad t = 3 \text{ h}.$

Odpowiedź. a) Po $2$ godzinach statki są $70$ km od siebie. b) Odległość $105$ km osiągną po $3$ godzinach.