Długość tunelu przez wzgórze - 400 m, 600 m i kąt 60°

Szkoła średnia łatwe

Przez wzgórze ma przebiegać prosty tunel od punktu $A$ do punktu $B$ . Odległości $|AB|$ nie da się zmierzyć bezpośrednio, bo między punktami jest wzgórze. Geodeta stanął w punkcie $C$ , z którego widać oba wyloty, i zmierzył: $|CA| = 400$ m, $|CB| = 600$ m, $|\angle ACB| = 60^\circ$ . Oblicz długość tunelu - dokładnie i z dokładnością do metra.

Szkic do zadania o tunelu: z punktu C widać oba wyloty. Długość tunelu x = |AB| leży naprzeciw kąta 60°.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Model. W trójkącie $ABC$ znamy dwa boki ( $400$ m i $600$ m) i kąt między nimi ( $60^\circ$ ) - dane BKB. Szukany bok $x = |AB|$ leży naprzeciw znanego kąta, więc stosujemy twierdzenie cosinusów.

Krok 2. Rachunek:

$x^2 = 400^2 + 600^2 - 2 \cdot 400 \cdot 600 \cdot \cos 60^\circ = 160\,000 + 360\,000 - 240\,000 = 280\,000.$

Krok 3. Pierwiastek - wyłączamy kwadrat spod pierwiastka ( $280\,000 = 40\,000 \cdot 7$ ):

$x = \sqrt{280\,000} = 200\sqrt{7} \approx 200 \cdot 2{,}6458 \approx 529{,}15 \text{ m}.$

Kontrola. Tunel musi być krótszy od sumy $400 + 600 = 1000$ m i dłuższy od różnicy $600 - 400 = 200$ m (nierówność trójkąta). Wynik $529$ m mieści się w tym przedziale.

Odpowiedź. Tunel ma długość $200\sqrt{7}$ m, czyli około $529$ m.

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →