Samolot: 300 km kursem 60°, potem 200 km na południe - odległość i kurs powrotny

Krok 1. Kąt przy $B$. Kierunki północy w $A$ i w $B$ są równoległe. Odcinek $AB$ tworzy z północą w $A$ kąt $60^\circ$, więc z kierunkiem południowym w $B$ tworzy też $60^\circ$ (kąty naprzemianległe). Samolot leci z $B$ prosto na południe, zatem

$|\angle ABC| = 60^\circ.$

Ten sam wynik daje rachunek kursów: kierunek z $B$ do $A$ ma kurs $60^\circ + 180^\circ = 240^\circ$, kierunek z $B$ do $C$ - kurs $180^\circ$, różnica $60^\circ$.

Krok 2. a) Odległość - twierdzenie cosinusów (dane BKB):

$|AC|^2 = 300^2 + 200^2 - 2 \cdot 300 \cdot 200 \cdot \cos 60^\circ = 90\,000 + 40\,000 - 60\,000 = 70\,000,$

$|AC| = \sqrt{70\,000} = 100\sqrt{7} \approx 264{,}6 \text{ km}.$

Krok 3. Kąt przy lotnisku - z twierdzenia cosinusów dla kąta $BAC$:

$\cos\angle BAC = \frac{300^2 + 70\,000 - 200^2}{2 \cdot 300 \cdot 100\sqrt{7}} = \frac{120\,000}{60\,000\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}} \approx 0{,}7559, \qquad |\angle BAC| \approx 40{,}89^\circ.$

Krok 4. b) Kurs powrotny. Punkt $C$ leży na prawo od kierunku $AB$ (samolot skręcił na południe), więc kurs z $A$ do $C$ to $60^\circ + 40{,}89^\circ = 100{,}89^\circ$. Kurs w przeciwną stronę różni się o $180^\circ$:

$100{,}89^\circ + 180^\circ = 280{,}89^\circ \approx 281^\circ.$

Uwaga: kąt $60^\circ$ z treści to kurs mierzony od północy, a nie kąt trójkąta $ABC$. Kąt przy $B$ trzeba wyprowadzić (krok 1) - zwykle z kątów naprzemianległych przy równoległych kierunkach północy.

Odpowiedź. a) Samolot jest $100\sqrt{7} \approx 264{,}6$ km od lotniska. b) Powinien wracać kursem około $281^\circ$ (na zachód, lekko na północ).