Wypadkowa dwóch sił 10 N i 6 N pod kątem 60° - wartość i kierunek

Krok 1. Trójkąt sił. Wypadkowa to przekątna $OC$ równoległoboku $OACB$ zbudowanego na siłach (reguła równoległoboku). W trójkącie $OAC$: $|OA| = 10$, $|AC| = |OB| = 6$, a kąt przy $A$ dopełnia kąt między siłami do $180^\circ$ (sąsiednie kąty równoległoboku):

$|\angle OAC| = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.$

Krok 2. Wartość wypadkowej - twierdzenie cosinusów ($\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$):

$W^2 = 10^2 + 6^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ = 100 + 36 + 60 = 196, \qquad W = 14 \text{ N}.$

Krok 3. Kierunek - twierdzenie sinusów. Kąt $\varphi = |\angle AOC|$ leży naprzeciw boku $AC = 6$, a znany kąt $120^\circ$ - naprzeciw $OC = 14$:

$\sin\varphi = \frac{6 \cdot \sin 120^\circ}{14} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{14} = \frac{3\sqrt{3}}{14} \approx 0{,}3712, \qquad \varphi \approx 21{,}79^\circ.$

Kąt jest ostry, bo w trójkącie jest już kąt rozwarty ($120^\circ$). Kontrola z cosinusa: $\cos\varphi = \frac{10^2 + 14^2 - 6^2}{2 \cdot 10 \cdot 14} = \frac{260}{280} = \frac{13}{14}$, co daje ten sam kąt.

Uwaga - dwie typowe pułapki: wypadkowa nie jest sumą $10 + 6 = 16$ N (tak byłoby tylko dla sił o tym samym kierunku), a w twierdzeniu cosinusów nie wstawiamy kąta $60^\circ$ między siłami. Kąt $60^\circ$ dałby $W^2 = 76$, czyli długość drugiej przekątnej - różnicy sił.

Odpowiedź. Wypadkowa ma wartość $14$ N i tworzy z siłą $F_1$ kąt około $21{,}79^\circ$.