Szerokość rzeki z jednego brzegu - odcinek 80 m, kąty 75° i 45°

Krok 1. Model. Szerokość rzeki to odległość drzewa $C$ od prostej brzegu, czyli wysokość $h = |CD|$ trójkąta $ABC$. W trójkącie znamy bok $AB$ i dwa kąty przy nim - dane KBK.

Krok 2. Trzeci kąt:

$|\angle ACB| = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ.$

Krok 3. Bok $AC$ - twierdzenie sinusów. Bok $AC$ leży naprzeciw kąta $45^\circ$ (przy $B$), a znany bok $AB$ - naprzeciw kąta $60^\circ$ (przy $C$):

$\frac{|AC|}{\sin 45^\circ} = \frac{80}{\sin 60^\circ} \quad\Longrightarrow\quad |AC| = \frac{80 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{80\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{80\sqrt{6}}{3} \approx 65{,}32 \text{ m}.$

Krok 4. Wysokość - z trójkąta prostokątnego $ADC$, w którym $AC$ jest przeciwprostokątną, a kąt przy $A$ ma $75^\circ$ ($\sin 75^\circ \approx 0{,}9659$):

$h = |AC| \cdot \sin 75^\circ \approx 65{,}32 \cdot 0{,}9659 \approx 63{,}09 \text{ m}.$

Kontrola innym trójkątem. $|BC| = \frac{80 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{77{,}27}{0{,}8660} \approx 89{,}23$ m, a $h = |BC| \cdot \sin 45^\circ \approx 89{,}23 \cdot 0{,}7071 \approx 63{,}09$ m. Ten sam wynik.

Uwaga: w kroku 3 pilnuj par „bok - kąt naprzeciw”. Bok $AC$ nie leży naprzeciw kąta $75^\circ$ (to kąt przy wierzchołku $A$), tylko naprzeciw kąta przy $B$.

Odpowiedź. Rzeka ma szerokość około $63{,}1$ m.