Działka w kształcie trójkąta 80 m, 70 m, 30 m - pole i długość ścieżki do środka boku

Krok 1. Kąt przy $A$ - twierdzenie cosinusów. Kąt $A$ leży naprzeciw boku $BC = 70$:

$\cos\angle A = \frac{|AB|^2 + |AC|^2 - |BC|^2}{2 \cdot |AB| \cdot |AC|} = \frac{6400 + 900 - 4900}{2 \cdot 80 \cdot 30} = \frac{2400}{4800} = \frac{1}{2}, \qquad |\angle BAC| = 60^\circ.$

Krok 2. Pole:

$P = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 30 \cdot \sin 60^\circ = 1200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 600\sqrt{3} \approx 1039{,}23 \text{ m}^2 \approx 10{,}39 \text{ a}.$

Krok 3. Cosinus kąta przy $B$. Ścieżka $AM$ jest bokiem trójkąta $ABM$, w którym znamy $|AB| = 80$ i $|BM| = 35$. Brakuje kąta przy $B$ - liczymy go z całego trójkąta $ABC$ (kąt $B$ leży naprzeciw boku $AC = 30$):

$\cos\angle B = \frac{|AB|^2 + |BC|^2 - |AC|^2}{2 \cdot |AB| \cdot |BC|} = \frac{6400 + 4900 - 900}{2 \cdot 80 \cdot 70} = \frac{10\,400}{11\,200} = \frac{13}{14}.$

Krok 4. Długość ścieżki - twierdzenie cosinusów w trójkącie $ABM$:

$|AM|^2 = 80^2 + 35^2 - 2 \cdot 80 \cdot 35 \cdot \frac{13}{14} = 6400 + 1225 - 5200 = 2425,$

$|AM| = \sqrt{2425} = 5\sqrt{97} \approx 49{,}24 \text{ m}.$

Kontrola. Ten sam wynik daje trójkąt $ACM$: $\cos\angle C = \frac{900 + 4900 - 6400}{2 \cdot 30 \cdot 70} = -\frac{1}{7}$, więc $|AM|^2 = 900 + 1225 + 2 \cdot 30 \cdot 35 \cdot \frac{1}{7} = 2125 + 300 = 2425$.

Uwaga: kąt przy $B$ jest wspólny dla trójkątów $ABC$ i $ABM$ - to on łączy oba rachunki. Nie wystarczy wziąć połowy kąta $A$: środkowa nie dzieli kąta na pół (robi to dwusieczna).

Odpowiedź. a) $|\angle BAC| = 60^\circ$, pole $600\sqrt{3}$ m² $\approx 10{,}39$ a. b) Ścieżka ma $5\sqrt{97} \approx 49{,}2$ m.