Wysokość masztu z dwóch kątów wzniesienia: 32° i 54°, odległość 40 m

Krok 1. Kąty w trójkącie $ABT$. Kąt przy $B$ jest przyległy do kąta wzniesienia $54^\circ$:

$|\angle ABT| = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ, \qquad |\angle ATB| = 180^\circ - 32^\circ - 126^\circ = 22^\circ.$

Krócej: kąt $54^\circ$ jest kątem zewnętrznym trójkąta $ABT$, więc kąt przy $T$ to różnica $54^\circ - 32^\circ = 22^\circ$.

Krok 2. Bok $BT$ - twierdzenie sinusów. Znamy bok $AB = 40$ m naprzeciw kąta $22^\circ$, a $BT$ leży naprzeciw kąta $32^\circ$. Z tablic: $\sin 32^\circ \approx 0{,}5299$, $\sin 22^\circ \approx 0{,}3746$:

$\frac{|BT|}{\sin 32^\circ} = \frac{40}{\sin 22^\circ} \quad\Longrightarrow\quad |BT| = \frac{40 \cdot \sin 32^\circ}{\sin 22^\circ} \approx \frac{40 \cdot 0{,}5299}{0{,}3746} \approx 56{,}583 \text{ m}.$

Wynik pośredni zostawiamy z trzema miejscami po przecinku - zaokrąglamy dopiero na końcu.

Krok 3. Wysokość - z trójkąta prostokątnego $BDT$ ($\sin 54^\circ \approx 0{,}8090$):

$h = |BT| \cdot \sin 54^\circ \approx 56{,}583 \cdot 0{,}8090 \approx 45{,}78 \text{ m}.$

Kontrola. Z punktu $A$: $\operatorname{tg} 32^\circ \approx 0{,}6249$, więc maszt jest od $A$ w odległości $\frac{45{,}78}{0{,}6249} \approx 73{,}26$ m; z punktu $B$: $\frac{45{,}78}{\operatorname{tg} 54^\circ} \approx \frac{45{,}78}{1{,}3764} \approx 33{,}26$ m. Różnica to $40$ m - zgadza się.

Uwaga: w trójkącie $ABT$ kąt przy $B$ ma $126^\circ$, a nie $54^\circ$. Kąt wzniesienia z punktu $B$ leży po drugiej stronie odcinka $BT$ - poza trójkątem $ABT$.

Odpowiedź. Maszt ma około $45{,}8$ m wysokości.