Dziedzina funkcji f(x) = √(8 − 2ˣ⁺¹) - nierówność pod pierwiastkiem

Krok 1. Warunek dziedziny. Pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej:

$8 - 2^{x + 1} \ge 0$

Krok 2. Nierówność wykładnicza.

$2^{x + 1} \le 8 = 2^3$

Podstawa $2 > 1$, zwrot zostaje:

$x + 1 \le 3 \quad\Longrightarrow\quad x \le 2$

Krok 3. Brzegi dziedziny. Dla $x = 2$: $f(2) = \sqrt{8 - 8} = 0$ - funkcja istnieje. Dla $x = 3$: $8 - 16 = -8 < 0$ - pierwiastka nie ma. Z drugiej strony dla bardzo małych $x$ potęga $2^{x + 1}$ jest bliska zera, więc pod pierwiastkiem jest liczba bliska 8 - dziedzina nie ma lewego końca.

Przy okazji: ponieważ $2^{x + 1} > 0$, zawsze $8 - 2^{x + 1} < 8$, więc zbiorem wartości funkcji jest $[0, \sqrt{8}) = [0, 2\sqrt{2})$.

Odpowiedź. $D_f = (-\infty, 2]$.