Nierówność 0,2ˣ > 25 - podstawa dziesiętna

Krok 1. Ułamek dziesiętny jako potęga. $0{,}2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, a $25 = 5^2$:

$\left(5^{-1}\right)^x > 5^2 \quad\Longrightarrow\quad 5^{-x} > 5^2$

Krok 2. Porównanie wykładników. Podstawa $5 > 1$ - zwrot zostaje:

$-x > 2 \quad\Longrightarrow\quad x < -2$

(Dzieląc przez $-1$, zmieniamy zwrot - to zwykła reguła dla nierówności liniowych.)

Krok 3. Ta sama nierówność drugą drogą. Można też zostać przy podstawie $\frac{1}{5}$: $25 = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$, więc $\left(\frac{1}{5}\right)^x > \left(\frac{1}{5}\right)^{-2}$. Podstawa jest mniejsza od 1, więc zwrot się zmienia: $x < -2$. Wynik ten sam.

Krok 4. Sprawdzenie. $x = -3$: $0{,}2^{-3} = 5^3 = 125 > 25$ - spełnia. $x = -2$: $0{,}2^{-2} = 25$ - nierówność ostra, nie spełnia.

Odpowiedź. $x \in (-\infty, -2)$.