Nierówność (3/4)ˣ⁺¹ < (16/9)ˣ - ułamek i jego odwrotność

Krok 1. Prawa strona przez podstawę $\frac{3}{4}$. $\frac{16}{9} = \left(\frac{4}{3}\right)^2$, a $\frac{4}{3}$ to odwrotność $\frac{3}{4}$:

$\frac{16}{9} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-2} \quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{16}{9}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^{-2x}$

Krok 2. Nierówność z jedną podstawą.

$\left(\frac{3}{4}\right)^{x + 1} < \left(\frac{3}{4}\right)^{-2x}$

Krok 3. Zmiana zwrotu. Podstawa $\frac{3}{4} < 1$ - funkcja malejąca, więc przy przejściu do wykładników zwrot się zmienia:

$x + 1 > -2x \quad\Longrightarrow\quad 3x > -1 \quad\Longrightarrow\quad x > -\frac{1}{3}$

Krok 4. Sprawdzenie. $x = 0$: lewa strona $\frac{3}{4}$, prawa $1$ - spełnia. $x = -1$: lewa strona $1$, prawa $\frac{9}{16}$ - nie spełnia. Dla $x = -\frac{1}{3}$ obie strony są równe $\left(\frac{3}{4}\right)^{2/3}$, a nierówność jest ostra.

Odpowiedź. $x \in \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right)$.