Nierówność 4ˣ − 5 · 2ˣ + 4 < 0 - podstawienie t = 2ˣ

Krok 1. Podstawienie. $4^x = \left(2^x\right)^2$. Niech $t = 2^x$, $t > 0$:

$t^2 - 5t + 4 < 0$

Krok 2. Nierówność kwadratowa. Miejsca zerowe trójmianu: $t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4)$, więc $t = 1$ i $t = 4$. Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc wartości ujemne przyjmuje między miejscami zerowymi:

$1 < t < 4$

Cały ten przedział spełnia warunek $t > 0$ - nic nie odpada.

Krok 3. Powrót do $x$ - podwójna nierówność.

$1 < 2^x < 4 \quad\Longrightarrow\quad 2^0 < 2^x < 2^2$

Podstawa $2 > 1$, więc zwroty zostają:

$0 < x < 2$

Pułapka: zatrzymanie się na $t \in (1, 4)$ i podanie tego przedziału jako odpowiedzi. To zbiór wartości $2^x$, a nie zbiór argumentów $x$.

Krok 4. Sprawdzenie. $x = 1$: $4 - 10 + 4 = -2 < 0$ - spełnia. $x = 0$: $1 - 5 + 4 = 0$ - nierówność ostra, nie spełnia. $x = 3$: $64 - 40 + 4 = 28 > 0$ - nie spełnia.

Odpowiedź. $x \in (0, 2)$.