Nierówność 2ˣ⁺¹ + 2ˣ⁻¹ ≤ 20 - wyłączanie czynnika

Krok 1. Wyłączenie najmniejszej potęgi. $x + 1 = (x - 1) + 2$, więc $2^{x + 1} = 4 \cdot 2^{x - 1}$:

$4 \cdot 2^{x - 1} + 2^{x - 1} \le 20 \quad\Longrightarrow\quad 5 \cdot 2^{x - 1} \le 20$

Krok 2. Dzielenie przez 5. Dzielimy przez liczbę dodatnią - zwrot zostaje:

$2^{x - 1} \le 4 = 2^2$

Krok 3. Porównanie wykładników. Podstawa $2 > 1$, zwrot zostaje:

$x - 1 \le 2 \quad\Longrightarrow\quad x \le 3$

Krok 4. Sprawdzenie. $x = 3$: $2^4 + 2^2 = 16 + 4 = 20 \le 20$ - spełnia (równość). $x = 4$: $32 + 8 = 40 > 20$ - nie spełnia.

Odpowiedź. $x \in (-\infty, 3]$.