Dla jakich x wykres 3ˣ leży nad wykresem 9ˣ⁻¹?

Krok 1. Tłumaczenie na nierówność. Wykres $f$ leży nad wykresem $g$ dokładnie tam, gdzie $f(x) > g(x)$:

$3^x > 9^{x - 1}$

Krok 2. Wspólna podstawa. $9^{x - 1} = \left(3^2\right)^{x - 1} = 3^{2x - 2}$:

$3^x > 3^{2x - 2}$

Krok 3. Porównanie wykładników. Podstawa $3 > 1$, zwrot zostaje:

$x > 2x - 2 \quad\Longrightarrow\quad -x > -2 \quad\Longrightarrow\quad x < 2$

Krok 4. Interpretacja. Dla $x = 2$ obie funkcje mają wartość $9$ - wykresy przecinają się w punkcie $(2, 9)$. Na lewo od niego wyżej leży $3^x$ (np. $f(0) = 1$, $g(0) = \frac{1}{9}$), na prawo - $9^{x - 1}$, która rośnie dwa razy „szybciej w wykładniku” (np. $f(3) = 27$, $g(3) = 81$).

Odpowiedź. $x \in (-\infty, 2)$.