Nierówność (1/2)²ˣ⁻¹ ≤ 1/8 - podstawa mniejsza od 1 zmienia zwrot

Krok 1. Wspólna podstawa. $\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$:

$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x - 1} \le \left(\frac{1}{2}\right)^3$

Krok 2. Zmiana zwrotu. Podstawa $\frac{1}{2}$ jest mniejsza od 1, więc funkcja $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ jest malejąca: mniejsza potęga oznacza większy wykładnik. Przechodząc do wykładników, zmieniamy zwrot nierówności:

$2x - 1 \ge 3 \quad\Longrightarrow\quad 2x \ge 4 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 2$

Pułapka: pozostawienie zwrotu daje $x \le 2$ - dokładnie przeciwny (i błędny) zbiór.

Krok 3. Sprawdzenie. $x = 2$: $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ - równość, nierówność nieostra, więc spełnia. $x = 3$: $\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} < \frac{1}{8}$ - spełnia. $x = 0$: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 > \frac{1}{8}$ - nie spełnia.

Odpowiedź. $x \in [2, +\infty)$.