Przekątna sześcianu ma długość 6 - oblicz krawędź i przekątną ściany

Krok 1. Związek przekątnej z krawędzią. Dla sześcianu o krawędzi $a$ przekątna podstawy ma długość $a\sqrt{2}$, a z trójkąta prostokątnego $BDD_1$:

$|BD_1|^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 3a^2 \quad\Longrightarrow\quad |BD_1| = a\sqrt{3}.$

Krok 2. Krawędź.

$a\sqrt{3} = 6 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}.$

Krok 3. Przekątna ściany.

$a\sqrt{2} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6}.$

Krok 4. Sprawdzenie. $(2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 24 + 12 = 36 = 6^2$. $\checkmark$

Odpowiedź. Krawędź sześcianu ma długość $2\sqrt{3}$, a przekątna ściany $2\sqrt{6}$.