Przekątna sześcianu o krawędzi 5 i przekątna jego ściany

Krok 1. Przekątna ściany. Ściana sześcianu to kwadrat o boku $5$. Przekątna $BD$ podstawy jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego $BAD$ o przyprostokątnych $5$ i $5$:

$|BD| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.$

Krok 2. Trójkąt z przekątną sześcianu. Krawędź $DD_1$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc jest prostopadła do każdej prostej tej płaszczyzny, w tym do $BD$. Trójkąt $BDD_1$ jest prostokątny z kątem prostym przy $D$, a przekątna sześcianu $BD_1$ jest jego przeciwprostokątną.

Krok 3. Przekątna sześcianu.

$|BD_1| = \sqrt{|BD|^2 + |DD_1|^2} = \sqrt{50 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}.$

To szczególny przypadek wzorów $a\sqrt{2}$ (przekątna kwadratu) i $a\sqrt{3}$ (przekątna sześcianu): $\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$.

Odpowiedź. Przekątna ściany ma długość $5\sqrt{2}$, a przekątna sześcianu $5\sqrt{3}$.