Graniastosłup ma 12 ścian - ile ma krawędzi? Czy istnieje graniastosłup o 25 krawędziach?

Dla graniastosłupa o podstawie $n$-kąta ($n \ge 3$):

$K = 3n, \qquad W = 2n, \qquad S = n + 2.$

Krok 1. Podpunkt a). $n + 2 = 12$, więc $n = 10$ - to graniastosłup dziesięciokątny. Stąd $K = 3 \cdot 10 = 30$ i $W = 2 \cdot 10 = 20$.

Krok 2. Podpunkt b). Liczba krawędzi graniastosłupa jest zawsze wielokrotnością $3$. Równanie $3n = 25$ daje $n = \frac{25}{3}$, a to nie jest liczba naturalna. Taki graniastosłup nie istnieje.

Krok 3. Podpunkt c). Liczba wierzchołków musi być parzysta i co najmniej $6$. Równanie $2n = 2026$ daje $n = 1013$ - graniastosłup tysiąc trzynastokątny istnieje. Ma $K = 3 \cdot 1013 = 3039$ krawędzi.

Odpowiedź. a) $30$ krawędzi i $20$ wierzchołków; b) nie istnieje, bo $25$ nie dzieli się przez $3$; c) istnieje ($n = 1013$), ma $3039$ krawędzi.