Spodek wysokości ostrosłupa w środku okręgu wpisanego - podstawa trójkąt 6, 8, 10

Szkoła średnia trudne

Podstawą ostrosłupa $ABCS$ jest trójkąt prostokątny $ABC$ o przyprostokątnych $|AB| = 6$ , $|AC| = 8$ . Wszystkie wysokości ścian bocznych (poprowadzone z wierzchołka $S$ ) mają długość $2\sqrt{5}$ , a spodek wysokości ostrosłupa leży wewnątrz podstawy. Oblicz wysokość ostrosłupa.

Ostrosłup o podstawie trójkąta prostokątnego ABC (kąt prosty przy A, przeciwprostokątna BC = 10). Spodek wysokości O to środek okręgu wpisanego w podstawę, E - punkt styczności okręgu z bokiem BC.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Gdzie jest spodek wysokości. Niech $O$ będzie spodkiem wysokości, a $E$ spodkiem wysokości ściany $SBC$ . Z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych $OE \perp BC$ , a trójkąt $SOE$ jest prostokątny. Tak samo dla dwóch pozostałych ścian. Wszystkie trzy trójkąty mają wspólną przyprostokątną $SO$ i równe przeciwprostokątne $2\sqrt{5}$ , więc odległości punktu $O$ od trzech boków podstawy są równe. Punkt wewnątrz trójkąta jednakowo odległy od boków to środek okręgu wpisanego, a ta odległość to promień $r$ .

Krok 2. Promień okręgu wpisanego. Przeciwprostokątna $|BC| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ . W trójkącie prostokątnym $r = \frac{a + b - c}{2}$ :

$r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2.$

Sprawdzenie ze wzoru $P = r \cdot p$ : $P = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ , $p = 12$ , $r = 2$ . $\checkmark$

Krok 3. Wysokość ostrosłupa z trójkąta $SOE$ :

$H = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{20 - 4} = 4.$

Odpowiedź. Wysokość ostrosłupa jest równa $4$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →