Dziedzina i miejsca zerowe funkcji f(x) = (x² − x − 6)/(x³ − 9x)

Krok 1. Rozkład mianownika. Wyłączamy $x$ przed nawias i stosujemy wzór na różnicę kwadratów:

$x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3).$

Krok 2. Dziedzina. Mianownik zeruje się dla $x = 0$, $x = 3$ i $x = -3$, więc

$D = \mathbb{R} \setminus \{-3,\ 0,\ 3\}.$

Krok 3. Pierwiastki licznika. $x^2 - x - 6$: $\Delta = 1 + 24 = 25$, $x_1 = \tfrac{1 - 5}{2} = -2$, $x_2 = \tfrac{1 + 5}{2} = 3$. Zatem $x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$.

Krok 4. Selekcja. Liczba $3$ nie należy do dziedziny - dla niej zeruje się również mianownik i wyrażenie $\tfrac{0}{0}$ nie ma sensu. Zostaje $x = -2$. Sprawdzenie: $f(-2) = \tfrac{4 + 2 - 6}{-8 + 18} = \tfrac{0}{10} = 0$.

Krok 5. Oś $OY$. Wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0,\ f(0))$, ale $0 \notin D$. Wartość $f(0)$ nie istnieje, więc punktu przecięcia nie ma.

Uwaga: odpowiedź „miejsca zerowe $-2$ i $3$” jest błędna. Miejsca zerowe to pierwiastki licznika, które należą do dziedziny.

Odpowiedź. $D = \mathbb{R} \setminus \{-3,\ 0,\ 3\}$; jedno miejsce zerowe $x = -2$; wykres nie przecina osi $OY$, bo $0$ nie należy do dziedziny.