Asymptoty pionowe i poziome trzech funkcji wymiernych

Krok 1. Funkcja $f$ - rozkład i skracanie. $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$, więc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3,\ 3\}$ i dla $x \in D_f$:

$f(x) = \frac{x + 3}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{x - 3}.$

Czynnik $(x + 3)$ się skrócił - w $x = -3$ jest dziura w punkcie $\left(-3,\ \tfrac{1}{-6}\right) = \left(-3,\ -\tfrac{1}{6}\right)$. Zero mianownika $x = 3$ zostało po skróceniu: to asymptota pionowa. Stopień licznika ($1$) jest mniejszy niż mianownika ($2$), więc asymptotą poziomą jest $y = 0$.

Krok 2. Funkcja $g$ - rozkład mianownika. $2x^2 + x - 1$: $\Delta = 1 + 8 = 9$, $x_1 = \tfrac{-1 - 3}{4} = -1$, $x_2 = \tfrac{-1 + 3}{4} = \tfrac{1}{2}$, więc $2x^2 + x - 1 = 2\left(x - \tfrac{1}{2}\right)(x + 1) = (2x - 1)(x + 1)$. Licznik: $4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$. Dziedzina $D_g = \mathbb{R} \setminus \left\{-1,\ \tfrac{1}{2}\right\}$ i

$g(x) = \frac{(2x - 1)(2x + 1)}{(2x - 1)(x + 1)} = \frac{2x + 1}{x + 1}.$

Krok 3. Funkcja $g$ - asymptoty i dziura. Skrócił się czynnik $(2x - 1)$, więc w $x = \tfrac{1}{2}$ jest dziura: $\tfrac{2 \cdot \frac{1}{2} + 1}{\frac{1}{2} + 1} = \tfrac{2}{3/2} = \tfrac{4}{3}$, punkt $\left(\tfrac{1}{2},\ \tfrac{4}{3}\right)$. Asymptota pionowa: $x = -1$. Stopnie licznika i mianownika są równe ($2$), więc asymptota pozioma to iloraz współczynników wiodących: $y = \tfrac{4}{2} = 2$.

Krok 4. Funkcja $h$. Mianownik $x^2 + 4 \ge 4 > 0$ nie ma pierwiastków, więc $D_h = \mathbb{R}$ - asymptot pionowych ani dziur nie ma. Stopień licznika ($3$) jest większy niż mianownika ($2$), więc asymptoty poziomej też nie ma: dla dużych $|x|$ wartości $h(x)$ rosną bez ograniczeń (zachowują się jak $x$).

Uwaga: w $f$ i w $g$ mianownik ma po dwa miejsca zerowe, ale asymptota pionowa jest tylko jedna - drugie zero „zjada” skracanie.

Odpowiedź.