Wyznacz a i b: f(x) = (x² + ax + b)/(x² − 1) ma dziurę w x = 1 i miejsce zerowe 3

Krok 1. Co oznacza dziura w $x = 1$. Mianownik $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ zeruje się w $1$. Gdyby licznik w $1$ się nie zerował, byłaby tam asymptota pionowa. Dziura wymaga, żeby czynnik $(x - 1)$ skrócił się, czyli żeby licznik też miał pierwiastek $1$:

$1^2 + a \cdot 1 + b = 0 \iff a + b = -1.$

Krok 2. Miejsce zerowe $3$. Liczba $3$ należy do dziedziny ($9 - 1 \ne 0$), więc wystarczy, żeby zerowała licznik:

$9 + 3a + b = 0 \iff 3a + b = -9.$

Krok 3. Układ równań. Odejmujemy stronami: $2a = -8$, więc $a = -4$, a $b = -1 - a = 3$. Licznik: $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.

Krok 4. Kontrola drugiego zera mianownika. W $x = -1$ licznik wynosi $1 + 4 + 3 = 8 \ne 0$, więc tam jest asymptota pionowa, a nie druga dziura. Po skróceniu, dla $x \ne \pm 1$:

$f(x) = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x - 3}{x + 1} = \frac{-4}{x + 1} + 1.$

Krok 5. Dziura i asymptoty. Druga współrzędna dziury: $\tfrac{1 - 3}{1 + 1} = -1$, czyli wyrwany jest punkt $(1,\ -1)$. Asymptoty: pionowa $x = -1$, pozioma $y = 1$.

Krok 6. Zbiór wartości. Hiperbola $\tfrac{-4}{x + 1} + 1$ przyjmuje wszystkie wartości oprócz $1$, każdą dokładnie raz. Wartość $-1$ przyjmowała tylko w $x = 1$, a ten punkt jest wyrwany - więc $-1$ też wypada.

Uwaga: dziura zabiera jedną wartość ze zbioru wartości. Odpowiedź „$\mathbb{R} \setminus \{1\}$” (przepisana z funkcji homograficznej) jest błędna.

Odpowiedź. a) $a = -4$, $b = 3$; b) dziura w punkcie $(1,\ -1)$, asymptoty $x = -1$ i $y = 1$, zbiór wartości $\mathbb{R} \setminus \{-1,\ 1\}$.