Funkcja f(x) = (x² − x − 2)/(x² − 4x + 4) - skracanie bez dziury

Krok 1. Rozkład na czynniki. Mianownik to kwadrat różnicy: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Licznik: $\Delta = 1 + 8 = 9$, pierwiastki $\tfrac{1 - 3}{2} = -1$ i $\tfrac{1 + 3}{2} = 2$, więc $x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$.

Krok 2. Dziedzina. $(x - 2)^2 \ne 0 \iff x \ne 2$, więc $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

Krok 3. Skracanie. Dla $x \ne 2$:

$f(x) = \frac{(x + 1)(x - 2)}{(x - 2)^2} = \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{3}{x - 2} + 1.$

Skrócił się jeden czynnik $(x - 2)$, ale w mianowniku był on podwójny - jeden został. Po skróceniu mianownik nadal zeruje się w $x = 2$, a licznik $x + 1$ już nie ($2 + 1 = 3 \ne 0$). Dlatego w $x = 2$ jest asymptota pionowa, a nie dziura.

Krok 4. Asymptoty i miejsca zerowe. Asymptota pionowa $x = 2$. Stopnie wyjściowego licznika i mianownika są równe, współczynniki wiodące $1$ i $1$, więc asymptota pozioma $y = 1$. Pierwiastki licznika to $-1$ i $2$; do dziedziny należy tylko $-1$, więc jedynym miejscem zerowym jest $x = -1$.

Krok 5. Punkty i szkic. $f(0) = \tfrac{1}{-2} = -\tfrac{1}{2}$, $f(1) = \tfrac{2}{-1} = -2$, $f(3) = 4$, $f(5) = 2$. Wykres to hiperbola $y = \tfrac{3}{x}$ przesunięta o wektor $[2,\ 1]$ - w całości, bez wyrwanych punktów.

Krok 6. Zbiór wartości. Hiperbola $\tfrac{3}{x - 2} + 1$ przyjmuje wszystkie wartości oprócz $1$, a żadnego punktu z niej nie wyrywamy: $ZW = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Uwaga: skrócenie czynnika nie zawsze oznacza dziurę. Dziura powstaje tylko wtedy, gdy po skróceniu dany czynnik znika z mianownika.

Odpowiedź. $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$; miejsce zerowe $x = -1$; asymptoty $x = 2$ i $y = 1$; $ZW = \mathbb{R} \setminus \{1\}$; wykres nie ma dziury - to cała hiperbola $\tfrac{3}{x - 2} + 1$.