Liczba rozwiązań równania |f(x)| = m dla f(x) = (x² − 1)/(x³ − x)

Krok 1. Dziedzina. $x^3 - x = x(x - 1)(x + 1) \ne 0$, więc $D = \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}$.

Krok 2. Skracanie. Licznik $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Dla $x \in D$:

$f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x}.$

Wykres to hiperbola $y = \tfrac{1}{x}$ z dwiema dziurami: w $x = 1$ (punkt $(1,\ 1)$) i w $x = -1$ (punkt $(-1,\ -1)$). Asymptoty: $x = 0$ i $y = 0$.

Krok 3. Równanie $f(x) = m$. Hiperbola $\tfrac{1}{x}$ przyjmuje każdą wartość $m \ne 0$ dokładnie raz, w punkcie $x = \tfrac{1}{m}$. Rozwiązanie odpada, gdy $\tfrac{1}{m}$ wypada w dziurze: $\tfrac{1}{m} = 1$ dla $m = 1$ i $\tfrac{1}{m} = -1$ dla $m = -1$. Dla $m = 0$ równanie $\tfrac{1}{x} = 0$ jest sprzeczne.

Krok 4. Wykres $y = |f(x)|$. Część wykresu pod osią $OX$ (lewą gałąź) odbijamy względem tej osi. Dziura $(-1,\ -1)$ przechodzi wtedy w $(-1,\ 1)$ - tak samo pusty punkt, bo $-1$ nadal nie należy do dziedziny. Obie gałęzie leżą nad osią $OX$ i są symetryczne względem osi $OY$.

Krok 5. Równanie $|f(x)| = m$. Dla $m > 0$ równanie $\left|\tfrac{1}{x}\right| = m$ daje $|x| = \tfrac{1}{m}$, czyli $x = \tfrac{1}{m}$ lub $x = -\tfrac{1}{m}$. Oba rozwiązania odpadają jednocześnie, gdy $\tfrac{1}{m} = 1$, czyli dla $m = 1$. Dla $m \le 0$ rozwiązań nie ma: wartość bezwzględna nie jest ujemna, a $\left|\tfrac{1}{x}\right| = 0$ jest niemożliwe.

Uwaga: kto narysuje samą hiperbolę $\tfrac{1}{x}$, bez dziur, odpowie „dla $m = 1$ dwa rozwiązania”. Dziury powstałe przy skracaniu zmieniają odpowiedź.

Odpowiedź. a) Równanie $f(x) = m$ ma jedno rozwiązanie dla $m \in \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}$ i nie ma rozwiązań dla $m \in \{-1,\ 0,\ 1\}$. b) Równanie $|f(x)| = m$ ma dwa rozwiązania dla $m \in (0;\ 1) \cup (1;\ +\infty)$ i nie ma rozwiązań dla $m \in (-\infty;\ 0\rangle \cup \{1\}$.