Wykres funkcji f(x) = (x³ − 4x)/(x² + 2x) - prosta z dwiema dziurami

Krok 1. Dziedzina - przed skracaniem. $x^2 + 2x = x(x + 2) \ne 0$, więc

$D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 0\}.$

Krok 2. Rozkład licznika. $x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$.

Krok 3. Skracanie. Licznik i mianownik mają wspólne czynniki $x$ i $(x + 2)$. Dla $x \in D$:

$f(x) = \frac{x(x - 2)(x + 2)}{x(x + 2)} = x - 2.$

Krok 4. Dziury. Oba skrócone czynniki dają dziury, nie asymptoty. Ich drugie współrzędne liczymy ze wzoru po skróceniu: dla $x = -2$ mamy $-2 - 2 = -4$, dla $x = 0$ mamy $0 - 2 = -2$. Wyrwane są punkty $(-2,\ -4)$ i $(0,\ -2)$.

Krok 5. Zbiór wartości. Prosta $y = x - 2$ przyjmuje każdą wartość dokładnie raz. Wartość $-4$ przyjmowała tylko dla $x = -2$, a wartość $-2$ tylko dla $x = 0$ - obu tych argumentów nie ma w dziedzinie, więc obie wartości wypadają.

Krok 6. Miejsca zerowe. Pierwiastki licznika to $0$, $2$ i $-2$; do dziedziny należy tylko $2$. Ten sam wynik daje wzór po skróceniu: $x - 2 = 0$.

Uwaga: wykres nie przecina osi $OY$ - w miejscu, gdzie prosta by ją przecięła, jest dziura $(0,\ -2)$.

Odpowiedź. Wykres: prosta $y = x - 2$ bez punktów $(-2,\ -4)$ i $(0,\ -2)$; zbiór wartości $\mathbb{R} \setminus \{-4,\ -2\}$; jedno miejsce zerowe $x = 2$.