Wykres f(x) = (x² + 4x)/(x² + 4) przecina asymptotę poziomą - w którym punkcie?

Krok 1. Dziedzina. $x^2 + 4 \ge 4 > 0$ dla każdego $x$, więc mianownik nigdy się nie zeruje: $D = \mathbb{R}$. Wykres nie ma asymptot pionowych.

Krok 2. Miejsca zerowe. $x^2 + 4x = x(x + 4) = 0$ dla $x = 0$ lub $x = -4$. Obie liczby należą do dziedziny, więc obie są miejscami zerowymi.

Krok 3. Asymptota pozioma. Stopnie licznika i mianownika są równe ($2$), a współczynniki przy $x^2$ to $1$ i $1$. Asymptota pozioma: $y = \tfrac{1}{1} = 1$.

Krok 4. Punkt wspólny z asymptotą. Rozwiązujemy $f(x) = 1$. Mianownik jest dodatni, więc wolno przez niego pomnożyć:

$\frac{x^2 + 4x}{x^2 + 4} = 1 \iff x^2 + 4x = x^2 + 4 \iff 4x = 4 \iff x = 1.$

Punkt wspólny: $(1,\ 1)$. Sprawdzenie: $f(1) = \tfrac{1 + 4}{1 + 4} = 1$.

Krok 5. Nad asymptotą. Badamy znak różnicy:

$f(x) - 1 = \frac{x^2 + 4x - (x^2 + 4)}{x^2 + 4} = \frac{4x - 4}{x^2 + 4}.$

Mianownik jest zawsze dodatni, więc znak zależy tylko od licznika: $4x - 4 > 0 \iff x > 1$. Dla $x < 1$ wykres leży pod asymptotą - także dla bardzo małych $x$, gdzie zbliża się do niej od dołu.

Uwaga: „wykres nie przecina asymptoty” to własność funkcji homograficznej. Ogólna funkcja wymierna może przecinać asymptotę poziomą - tutaj robi to w punkcie $(1,\ 1)$, a dopiero dla dużych $|x|$ przytula się do prostej $y = 1$.

Odpowiedź. a) $D = \mathbb{R}$, miejsca zerowe $-4$ i $0$; b) asymptota $y = 1$, punkt wspólny $(1,\ 1)$; c) wykres leży nad asymptotą dla $x \in (1;\ +\infty)$.