Równanie 4ˣ − 6 · 2ˣ + 8 = 0 - podstawienie t = 2ˣ

Krok 1. Zauważamy kwadrat. $4^x = \left(2^2\right)^x = \left(2^x\right)^2$. W równaniu występuje więc $2^x$ i jego kwadrat - to sygnał do podstawienia.

Krok 2. Podstawienie. Niech $t = 2^x$. Potęga jest zawsze dodatnia, więc $t > 0$ (ten warunek zapisujemy od razu, przyda się przy odrzucaniu rozwiązań):

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Krok 3. Równanie kwadratowe. $\Delta = 36 - 32 = 4$, $\sqrt{\Delta} = 2$:

$t_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2, \qquad t_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$

Oba pierwiastki są dodatnie, więc oba spełniają warunek $t > 0$.

Krok 4. Powrót do zmiennej $x$.

$2^x = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 1, \qquad 2^x = 4 = 2^2 \quad\Longrightarrow\quad x = 2$

Krok 5. Sprawdzenie. $x = 1$: $4 - 12 + 8 = 0$. $x = 2$: $16 - 24 + 8 = 0$.

Odpowiedź. $x = 1$ lub $x = 2$.