Liczba ekstremów funkcji x⁴ + 4x³ + 2mx² w zależności od parametru m

Krok 1. Pochodna rozłożona na czynniki.

$$f'(x) = 4x^3 + 12x^2 + 4mx = 4x\,(x^2 + 3x + m)$$

Oznaczmy $g(x) = x^2 + 3x + m$. Ekstremum jest tam, gdzie $f'$ zmienia znak, czyli w pierwiastkach $f'$ o krotności nieparzystej. Liczba ekstremów zależy więc od tego, jakie pierwiastki ma $g$ i czy któryś z nich pokrywa się z zerem.

Krok 2. Delta trójmianu $g$.

$$\Delta = 9 - 4m$$

Krok 3. Przypadek $\Delta > 0$, czyli $m < \frac{9}{4}$. Trójmian $g$ ma dwa różne pierwiastki $x_1 \neq x_2$. Trzeba jeszcze sprawdzić, czy któryś z nich nie jest zerem: $g(0) = m$.

• $m \neq 0$: zero nie jest pierwiastkiem $g$, więc $f'$ ma trzy różne pierwiastki jednokrotne $0$, $x_1$, $x_2$. W każdym pochodna zmienia znak - trzy ekstrema. Na przykład dla $m = 2$: $f'(x) = 4x(x + 1)(x + 2)$, minima w $x = -2$ i $x = 0$, maksimum w $x = -1$.
• $m = 0$: $g(x) = x(x + 3)$, więc $f'(x) = 4x^2(x + 3)$. Zero jest pierwiastkiem podwójnym - pochodna nie zmienia w nim znaku. Zostaje jedno ekstremum: minimum w $x = -3$, $f(-3) = 81 - 108 = -27$.

Krok 4. Przypadek $\Delta = 0$, czyli $m = \frac{9}{4}$. Wtedy $g(x) = \left(x + \frac{3}{2}\right)^2$ i

$$f'(x) = 4x\left(x + \frac{3}{2}\right)^2$$

Pierwiastek $-\frac{3}{2}$ jest podwójny (bez zmiany znaku), $0$ - jednokrotny. Jedno ekstremum: minimum $f(0) = 0$.

Krok 5. Przypadek $\Delta < 0$, czyli $m > \frac{9}{4}$. Trójmian $g$ jest dodatni dla każdego $x$, więc znak $f'$ to znak $x$: ujemny dla $x < 0$, dodatni dla $x > 0$. Jedno ekstremum: minimum $f(0) = 0$.

Krok 6. Zestawienie.

Odpowiedź. Funkcja ma trzy ekstrema lokalne dla $m \in (-\infty;\ 0) \cup \left(0;\ \frac{9}{4}\right)$ i jedno ekstremum lokalne dla $m \in \{0\} \cup \left\langle \frac{9}{4};\ +\infty\right)$.

Dwóch ekstremów (ani zera) ta funkcja mieć nie może: $f'$ jest wielomianem trzeciego stopnia o dodatnim współczynniku wiodącym, więc jest ujemna dla bardzo małych $x$ i dodatnia dla bardzo dużych - liczba zmian znaku jest zawsze nieparzysta. Najłatwiej przeoczyć przypadek $m = 0$: delta jest wtedy dodatnia, a mimo to ekstremum jest tylko jedno, bo pierwiastek $g$ „skleja się” z czynnikiem $x$.