Rozwiąż równanie 1 + 5 + 9 + … + x = 231

Krok 1. Ciąg i jego wyraz ogólny. Składniki rosną o $4$: $a_1 = 1$, $r = 4$, więc $a_n = 1 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 3$. Niewiadoma $x$ to ostatni wyraz sumy, czyli $x = a_n$ dla pewnego $n$.

Krok 2. Suma $n$ wyrazów.

$S_n = \frac{1 + 4n - 3}{2} \cdot n = \frac{4n - 2}{2} \cdot n = n(2n - 1)$

Krok 3. Równanie na liczbę wyrazów.

$n(2n - 1) = 231 \quad\Longrightarrow\quad 2n^2 - n - 231 = 0$

$\Delta = 1 + 8 \cdot 231 = 1849 = 43^2, \qquad n = \frac{1 + 43}{4} = 11, \qquad n = \frac{1 - 43}{4} = -\frac{21}{2}$

Liczba wyrazów musi być naturalna dodatnia, więc $n = 11$.

Krok 4. Wartość $x$. $x = a_{11} = 4 \cdot 11 - 3 = 41$.

Krok 5. Sprawdzenie. $1 + 5 + \ldots + 41 = \frac{1 + 41}{2} \cdot 11 = 21 \cdot 11 = 231$.

Odpowiedź. $x = 41$.

Uwaga: niewiadoma $x$ nie jest tu liczbą wyrazów, tylko ostatnim wyrazem. Najpierw szukamy $n$, a dopiero z niego $x$. Gdyby równanie kwadratowe nie dało rozwiązania naturalnego, równanie nie miałoby rozwiązań.