S₁₀ = 155 i a₅ = 14: wyznacz ciąg arytmetyczny i oblicz S₂₀

Krok 1. Zapis warunków przez $a_1$ i $r$.

$S_{10} = \frac{2a_1 + 9r}{2} \cdot 10 = 5(2a_1 + 9r) = 155 \quad\Longrightarrow\quad 2a_1 + 9r = 31$

$a_5 = a_1 + 4r = 14$

Krok 2. Rozwiązanie układu. Mnożymy drugie równanie przez $2$: $2a_1 + 8r = 28$. Odejmujemy od pierwszego:

$(2a_1 + 9r) - (2a_1 + 8r) = 31 - 28 \quad\Longrightarrow\quad r = 3$

Stąd $a_1 = 14 - 4 \cdot 3 = 2$.

Krok 3. Sprawdzenie. Ciąg $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$: piąty wyraz to $14$, a $S_{10} = \frac{2 + 29}{2} \cdot 10 = 155$.

Krok 4. Suma dwudziestu wyrazów. $a_{20} = 2 + 19 \cdot 3 = 59$, więc

$S_{20} = \frac{2 + 59}{2} \cdot 20 = 61 \cdot 10 = 610$

Odpowiedź. $a_1 = 2$, $r = 3$, $S_{20} = 610$.