Ile wyrazów ciągu aₙ = 3n − 2 trzeba dodać, by suma wyniosła 590?

Krok 1. Ciąg jest arytmetyczny. $a_{n+1} - a_n = 3$, więc $r = 3$, a $a_1 = 1$. Kolejne wyrazy: $1, 4, 7, 10, \ldots$

Krok 2. Wzór na sumę $n$ wyrazów.

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + 3n - 2}{2} \cdot n = \frac{(3n - 1)\,n}{2}$

Krok 3. Równanie.

$\frac{(3n - 1)\,n}{2} = 590 \quad\Longrightarrow\quad 3n^2 - n - 1180 = 0$

$\Delta = 1 + 4 \cdot 3 \cdot 1180 = 14\,161 = 119^2$

$n = \frac{1 + 119}{6} = 20 \qquad \text{lub} \qquad n = \frac{1 - 119}{6} = -\frac{59}{3}$

Krok 4. Wybór rozwiązania. Liczba wyrazów musi być liczbą naturalną dodatnią, więc odrzucamy $-\frac{59}{3}$.

Odpowiedź. Trzeba dodać $20$ początkowych wyrazów. Sprawdzenie: $a_{20} = 58$, a $S_{20} = \frac{1 + 58}{2} \cdot 20 = 590$.