Sₙ = 3n² − n: wyznacz wzór ogólny ciągu i wykaż, że jest arytmetyczny

Krok 1. Pierwszy wyraz. Suma jednego wyrazu to ten wyraz:

$a_1 = S_1 = 3 \cdot 1^2 - 1 = 2$

Krok 2. Wyraz $a_n$ dla $n \geq 2$. $n$-ty wyraz to suma $n$ wyrazów minus suma $n - 1$ wyrazów:

$a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 - n) - \left(3(n-1)^2 - (n-1)\right)$

$a_n = 3n^2 - n - (3n^2 - 6n + 3) + n - 1 = 6n - 4$

Krok 3. Czy wzór działa też dla $n = 1$? $6 \cdot 1 - 4 = 2 = a_1$ - tak. Zatem $a_n = 6n - 4$ dla każdego $n \geq 1$.

Krok 4. Różnica.

$a_{n+1} - a_n = 6(n+1) - 4 - (6n - 4) = 6$

Różnica jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny z $r = 6$. Dziesiąty wyraz: $a_{10} = 6 \cdot 10 - 4 = 56$.

Odpowiedź. a) $a_n = 6n - 4$. b) Ciąg jest arytmetyczny, bo $a_{n+1} - a_n = 6$ dla każdego $n$; $a_{10} = 56$.

Sprawdzenie: $S_2 = 3 \cdot 4 - 2 = 10 = a_1 + a_2 = 2 + 8$. Częsty błąd to wzięcie $a_{10} = S_{10} = 290$ - to suma dziesięciu wyrazów, nie dziesiąty wyraz.