Czworościan foremny ma wysokość 4 - oblicz długość krawędzi

Krok 1. Wzór na wysokość. Spodek wysokości to środek ściany $ABC$, $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, a z trójkąta prostokątnego $AOD$ wychodzi $H = \frac{a\sqrt{6}}{3}$ (wyprowadzenie w zadaniu o czworościanie o krawędzi 6).

Krok 2. Równanie.

$\frac{a\sqrt{6}}{3} = 4 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}.$

Krok 3. Wysokość ściany (trójkąta równobocznego):

$h_s = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.$

Krok 4. Sprawdzenie. $R = \frac{2}{3} h_s = 2\sqrt{2}$, więc $H^2 + R^2 = 16 + 8 = 24 = a^2$. $\checkmark$

Odpowiedź. Krawędź czworościanu ma długość $2\sqrt{6}$, a wysokość ściany $3\sqrt{2}$.