Kąty trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny, największy jest dwa razy większy od najmniejszego

Krok 1. Wygodne oznaczenie. Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy symetrycznie względem środkowego:

$\alpha - r, \qquad \alpha, \qquad \alpha + r, \qquad r \geq 0$

Przy takim zapisie suma od razu się upraszcza (różnice się znoszą). Bierzemy $r \geq 0$, więc najmniejszy kąt to $\alpha - r$, a największy $\alpha + r$.

Krok 2. Suma kątów trójkąta.

$(\alpha - r) + \alpha + (\alpha + r) = 180^\circ \iff 3\alpha = 180^\circ \iff \alpha = 60^\circ$

Środkowy kąt każdego trójkąta o kątach w ciągu arytmetycznym ma $60^\circ$.

Krok 3. Warunek z treści.

$60^\circ + r = 2(60^\circ - r) \iff 60^\circ + r = 120^\circ - 2r \iff 3r = 60^\circ \iff r = 20^\circ$

Krok 4. Kąty. $60^\circ - 20^\circ = 40^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ + 20^\circ = 80^\circ$. Sprawdzenie: $40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ$ i $80^\circ = 2 \cdot 40^\circ$.

Odpowiedź. Kąty trójkąta mają miary $40^\circ$, $60^\circ$ i $80^\circ$.

Gdyby oznaczyć kąty $a_1$, $a_1 + r$, $a_1 + 2r$, też by się udało, ale z układem dwóch równań. Zapis symetryczny $\alpha - r, \alpha, \alpha + r$ przyda się jeszcze w zadaniach łączących ciąg arytmetyczny i geometryczny.