Wykaż, że ciąg aₙ = (5 − 2n)/3 jest arytmetyczny, i zbadaj monotoniczność

Krok 1. Różnica kolejnych wyrazów.

$a_{n+1} - a_n = \frac{5 - 2(n + 1)}{3} - \frac{5 - 2n}{3} = \frac{5 - 2n - 2 - 5 + 2n}{3} = -\frac{2}{3}$

Krok 2. Wniosek (część a). Różnica jest stała - nie zależy od $n$. Ciąg jest więc arytmetyczny o różnicy $r = -\frac{2}{3}$. Pierwszy wyraz:

$a_1 = \frac{5 - 2}{3} = 1$

Krok 3. Monotoniczność i $a_{10}$ (część b). $r = -\frac{2}{3} < 0$, więc ciąg jest malejący.

$a_{10} = \frac{5 - 20}{3} = -5$

(kontrola ze wzoru: $a_{10} = a_1 + 9r = 1 - 6 = -5$).

Odpowiedź. a) Ciąg jest arytmetyczny, $a_1 = 1$, $r = -\frac{2}{3}$; b) ciąg jest malejący, $a_{10} = -5$.

Różnica nie musi być liczbą całkowitą. Ten ciąg można też zapisać jako $a_n = \frac{5}{3} - \frac{2}{3}n$ - wzór liniowy, więc arytmetyczny, z różnicą równą współczynnikowi przy $n$.