Ciąg arytmetyczny z dwóch wyrazów: a₄ = 10, a₉ = 30 - oblicz a₂₀

Krok 1. Różnica. Od $a_4$ do $a_9$ jest $9 - 4 = 5$ kroków po $r$:

$a_9 = a_4 + 5r \iff 30 = 10 + 5r \iff r = 4$

Ten sam wynik daje układ równań ze wzoru $a_n = a_1 + (n - 1)r$:

$\begin{cases} a_1 + 3r = 10 \\ a_1 + 8r = 30 \end{cases}$

Odejmując stronami, mamy $5r = 20$, czyli $r = 4$.

Krok 2. Pierwszy wyraz. $a_1 = a_4 - 3r = 10 - 12 = -2$.

Krok 3. Wzór ogólny i $a_{20}$.

$a_n = -2 + (n - 1) \cdot 4 = 4n - 6, \qquad a_{20} = 4 \cdot 20 - 6 = 74$

Sprawdzenie danych: $a_4 = 16 - 6 = 10$, $a_9 = 36 - 6 = 30$.

Odpowiedź. $a_1 = -2$, $r = 4$, $a_n = 4n - 6$, $a_{20} = 74$.