Ciąg arytmetyczny: a₁ + a₅ = 14 i a₂ · a₄ = 45 - wyznacz ciąg

Krok 1. Wyraz środkowy. Wyrazy $a_1$ i $a_5$ leżą symetrycznie wokół $a_3$ (po dwa kroki w każdą stronę), więc $a_3$ jest ich średnią arytmetyczną:

$a_3 = \frac{a_1 + a_5}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Krok 2. Drugi warunek przez $a_3$ i $r$. $a_2 = 7 - r$, $a_4 = 7 + r$, więc

$(7 - r)(7 + r) = 45 \iff 49 - r^2 = 45 \iff r^2 = 4 \iff r = 2 \ \text{ lub } \ r = -2$

Krok 3. Oba ciągi. $a_1 = a_3 - 2r$.

• $r = 2$: $a_1 = 7 - 4 = 3$, $a_n = 3 + (n - 1) \cdot 2 = 2n + 1$; wyrazy $3, 5, 7, 9, 11, \dots$
• $r = -2$: $a_1 = 7 + 4 = 11$, $a_n = 11 + (n - 1) \cdot (-2) = 13 - 2n$; wyrazy $11, 9, 7, 5, 3, \dots$

Krok 4. Sprawdzenie. W obu ciągach $a_1 + a_5 = 3 + 11 = 14$ oraz $a_2 \cdot a_4 = 5 \cdot 9 = 45$.

Odpowiedź. Są dwa takie ciągi: $a_n = 2n + 1$ (rosnący, $r = 2$) oraz $a_n = 13 - 2n$ (malejący, $r = -2$).

Najczęstszy błąd to zgubienie rozwiązania $r = -2$ przy wyciąganiu pierwiastka z $r^2 = 4$. Obie wartości dają poprawne ciągi - jeden to drugi zapisany „od końca”.