Nierówność |x − 3| > |x + 1|

Krok 1. Obie strony są nieujemne, więc wolno podnieść nierówność do kwadratu (korzystamy z własności $|a|^2 = a^2$):

$(x - 3)^2 > (x + 1)^2.$

Krok 2. Wymnażamy oba kwadraty.

$x^2 - 6x + 9 > x^2 + 2x + 1.$

Krok 3. Redukujemy $x^2$ i porządkujemy.

$-6x + 9 > 2x + 1 \quad\Longrightarrow\quad -8x > -8 \quad\Longrightarrow\quad x < 1.$

Uwaga: dzieliliśmy przez liczbę ujemną, więc zwrot się odwrócił.

Krok 4. Interpretacja. Szukaliśmy liczb bliższych $-1$ niż $3$ - czyli leżących na lewo od środka odcinka o końcach $-1$ i $3$, którym jest $1$. Zgadza się.

Odpowiedź. $x \in (-\infty;\ 1)$.