Nierówność |x + 1| + |x − 3| ≥ 6

Krok 1. Miejsca zerowe: $x = -1$ oraz $x = 3$. Rozważamy trzy przedziały.

Krok 2. Przypadek A: $x < -1$. Oba wyrażenia ujemne:

$(-x - 1) + (3 - x) \ge 6 \quad\Longrightarrow\quad 2 - 2x \ge 6 \quad\Longrightarrow\quad -2x \ge 4 \quad\Longrightarrow\quad x \le -2.$

Przecinamy z $x < -1$: zostaje $x \in (-\infty;\ -2\rangle$.

Krok 3. Przypadek B: $-1 \le x < 3$. Pierwsze wyrażenie nieujemne, drugie ujemne:

$(x + 1) + (3 - x) \ge 6 \quad\Longrightarrow\quad 4 \ge 6 \quad \text{- fałsz}.$

Brak rozwiązań w tym przedziale.

Krok 4. Przypadek C: $x \ge 3$. Oba wyrażenia nieujemne:

$(x + 1) + (x - 3) \ge 6 \quad\Longrightarrow\quad 2x - 2 \ge 6 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 4.$

Przecinamy z $x \ge 3$: zostaje $x \in \langle 4;\ +\infty)$.

Krok 5. Sumujemy:

$x \in (-\infty;\ -2\rangle \cup \langle 4;\ +\infty).$

Odpowiedź. $x \in (-\infty;\ -2\rangle \cup \langle 4;\ +\infty)$.