Nierówność |x − 2| < 3x

Krok 1. Miejsce zerowe wyrażenia podmodułowego: $x = 2$.

Krok 2. Przypadek A: $x < 2$. Wtedy $|x-2| = 2 - x$:

$2 - x < 3x \quad\Longrightarrow\quad 2 < 4x \quad\Longrightarrow\quad x > \tfrac{1}{2}.$

Przecinamy z warunkiem przedziału $x < 2$:

$x \in \left(\tfrac{1}{2};\ 2\right).$

Krok 3. Przypadek B: $x \ge 2$. Wtedy $|x-2| = x - 2$:

$x - 2 < 3x \quad\Longrightarrow\quad -2 < 2x \quad\Longrightarrow\quad x > -1,$

co dla $x \ge 2$ jest zawsze prawdą. Cały przedział wchodzi do rozwiązania:

$x \in \langle 2;\ +\infty).$

Krok 4. Sumujemy wyniki obu przypadków:

$x \in \left(\tfrac{1}{2};\ 2\right) \cup \langle 2;\ +\infty) = \left(\tfrac{1}{2};\ +\infty\right).$

Sprawdzenie. Dla $x = 1$: $|1-2| = 1 < 3$ - prawda. Dla $x = 0$: $|0-2| = 2 < 0$ - fałsz, i rzeczywiście $0$ nie należy do rozwiązania.

Odpowiedź. $x \in \left(\tfrac{1}{2};\ +\infty\right)$.